پاسخ سوالات صفحه ۸۱ کتاب ریاضی و آمار ۳ دوازدهم انسانی: تحلیل مجموع جملات دنباله هندسی

دنباله‌های هندسی یکی از مباحث مهم در ریاضیات هستند که در بسیاری از کاربردهای علمی و عملی به کار می‌روند. در این متن، به بررسی مجموع جملات یک دنباله هندسی می‌پردازیم و در کنار آن، نکات مهمی را که دانش‌آموزان باید در نظر داشته باشند، مورد بحث قرار می‌دهیم.

تعریف دنباله هندسی

دنباله هندسی به مجموعه‌ای از اعداد گفته می‌شود که نسبت بین هر دو جمله متوالی آن ثابت است. به طور کلی، اگر ( a ) اولین جمله دنباله باشد و ( r ) نسبت مشترک، می‌توان دنباله را به صورت زیر نوشت:

( a, ar, ar^2, ar^3, ldots )

در این فرمول، ( a ) جمله اول و ( r ) نسبت مشترک است.

فرمول مجموع جملات دنباله هندسی

برای محاسبه مجموع ( n ) جمله اول دنباله هندسی، می‌توان از فرمول زیر استفاده کرد:

( S_n = a frac{1 - r^n}{1 - r} ) (برای ( r eq 1 ))

در اینجا ( S_n ) مجموع جملات، ( a ) جمله اول و ( r ) نسبت مشترک است.

بررسی مثال‌ها

برای درک بهتر این موضوع، بیایید به چند مثال کاربردی بپردازیم:

مثال ۱:

فرض کنید که دنباله هندسی با جمله اول ( 3 ) و نسبت مشترک ( 2 ) داریم. اگر بخواهیم مجموع ۵ جمله اول این دنباله را محاسبه کنیم، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

( S_5 = 3 frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3 frac{1 - 32}{-1} = 3 imes 31 = 93 )

مثال ۲:

حال فرض کنید دنباله‌ای داریم که جمله اول آن ( 5 ) و نسبت مشترک آن ( frac{1}{3} ) است. برای محاسبه مجموع ۴ جمله اول این دنباله:

( S_4 = 5 frac{1 - (frac{1}{3})^4}{1 - frac{1}{3}} = 5 frac{1 - frac{1}{81}}{frac{2}{3}} = 5 imes frac{80}{81} imes frac{3}{2} = frac{120}{81} = frac{40}{27} )

این نتایج نشان می‌دهد که دنباله‌های هندسی می‌توانند در حل مسائل ریاضی و آمار بسیار مفید باشند.

نتیجه‌گیری

در این متن، به بررسی مفهوم دنباله هندسی و فرمول محاسبه مجموع جملات آن پرداختیم. امیدواریم که با استفاده از مثال‌های ارائه شده، مفهوم جمع آوری جملات دنباله‌های هندسی برای شما روشن شده باشد. برای کسب اطلاعات بیشتر و حل مسائل پیچیده‌تر، همواره می‌توانید به منابع معتبر مراجعه کنید.